Графическое решение уравнений — Гипермаркет знаний. Графические методы решения уравнений С помощью графиков решить уравнение

Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи – решайте их.

Д. Пойа

Уравнение – это равенство, содержащее одно или несколько неизвестных, при условии, что ставится задача нахождения тех значений неизвестных, для которых оно истинно.

Решить уравнение – это значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное числовое равенство, или установить, что таких значений нет.

Область допустимы значений уравнения (О.Д.З.) – это множество всех тех значений переменной (переменных), при которых определены все выражения, входящие в уравнение.

Многие уравнения, представленные в ЕГЭ, решаются стандартными методами. Но никто не запрещает использовать что-то необычное, даже в самых простых случаях.

Так, например, рассмотрим уравнение 3 – x 2 = 6 / (2 – x) .

Решим его графически , а затем найдем увеличенное в шесть раз среднее арифметическое его корней.

Для этого рассмотрим функции y = 3 – x 2 и y = 6 / (2 – x) и построим их графики.

Функция y = 3 – x 2 – квадратичная.

Перепишем данную функцию в виде y = -x 2 + 3. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. a = -1 < 0).

Вершина параболы будет смещена по оси ординат на 3 единицы вверх. Таким образом, координата вершины (0; 3).

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс, приравняем данную функцию к нулю и решим полученное уравнение:

Таким образом, в точках с координатами (√3; 0) и (-√3; 0) парабола пересекает ось абсцисс (рис. 1).

Графиком функции y = 6 / (2 – x) является гипербола.

График этой функции можно построить с помощью следующих преобразований:

1) y = 6 / x – обратная пропорциональность. График функции – гипербола. Ее можно построить по точкам, для этого составим таблицу значений для x и y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – график функции, полученной в пункте 1, симметрично отображаем относительно оси ординат (рис. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – сдвигаем график, полученный в пункте 2, по оси абсцисс на две единицы вправо (рис. 4).

Теперь изобразим графики функций y = 3 – x 2 и y = 6 / (2 – x) в одной системе координат (рис. 5).

По рисунку видно, что графики пересекаются в трех точках.

Важно понимать, что графический способ решения не позволяет найти точное значение корня. Итак, числа -1; 0; 3 (абсциссы точек пересечения графиков функций) являются пока только предполагаемыми корнями уравнения.

С помощью проверки убедимся, что числа -1; 0; 3 – действительно корни исходного уравнения:

Корень -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Их среднее арифметическое:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Увеличим его в шесть раз: 6 · 2/3 = 4.

Данное уравнение, конечно же, можно решить и более привычным способом – алгебраическим .

Итак, найти увеличенное в шесть раз среднее арифметическое корней уравнения 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Начнем решение уравнения с поиска О.Д.З. В знаменателе дроби не должен получаться нуль, поэтому:

Чтобы решить уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, это позволит избавиться от дроби.

(3 – x 2)(2 – x) = 6.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

6 – 3x – 2x 2 + x 3 = 6;

x 3 – 2x 2 – 3x = 0.

Вынесем общий множитель за скобки:

x(x 2 – 2x – 3) = 0.

Воспользуемся тем, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому имеем:

x = 0 или x 2 – 2x – 3 = 0.

Решим второе уравнение.

x 2 – 2x – 3 = 0. Оно квадратное, поэтому воспользуемся дискриминантом.

D = 4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Все три полученных корня удовлетворяют О.Д.З.

Поэтому найдем их среднее арифметическое и увеличим его в шесть раз:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

На самом деле, графический способ решения уравнений применяется довольно редко. Это связано с тем, что графическое представление функций позволяет решать уравнения только приближенно. В основном этот метод используют в тех задачах, где важен поиск не самих корней уравнения – их численных значений, а только их количества.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а . Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение х 2 - 2х - 3 = 0.
Решение.
I способ . Построим график функции у = х 2 - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:

1) Имеем: а = 1, b = -2, х 0 = = 1, у 0 = f(1)= 1 2 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х 2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х 1 = - 1, х 2 — 3.

II способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х 2 и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х 1 = - 1, х 2 — 3.

III способ . Преобразуем уравнение к виду х 2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = - 1, х 2 = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 -2х 4-1-4 = 0
и далее
х 2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4.
Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1) 2 и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = -1, х 2 = 3.

V способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую у = х - 2 (рис. 72).

Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х 1 = - 1, х 2 = 3.

Итак, квадратное уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

I способ. Строят график функции у точки его пересечения с осью х.

II способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 = -bх - с, строят параболу у = ах 2 и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

III способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 + с = - bх,строят параболу у — ах 2 + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

Строят параболу у = а (х + I) 2 и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.

V способ. Преобразуют уравнение к виду

Строят гиперболу (это — гипербола при условии, что ) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах 2 + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с . На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).

Замечание . Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы
сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х 2 - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в
рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х 2 = х + 3, построим параболу у = х 2 и
прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа
сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение
х 2 - 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х 2 — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу
у = х 2 - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х 2 надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем.

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x , при которых левая часть будет равна правой.

Как известно, графиком функции y = x² является парабола, а y = 2x + 1 - прямая. Координата x точек координатной плоскости, лежащих как на первом графике, так и на втором (то есть точек пересечения графиков) как раз и являются теми значениями x , при которых левая часть уравнения будет равна правой. Другими словами, координаты x точек пересечения графиков являются корнями уравнения.

Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

Рассмотрим пример попроще:
x² – 2x = 0 или x² = 2x

Нарисуем графики функций y = x² и y = 2x:

Как видно из чертежа, парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Координаты x этих точек соответственно равны 0 и 2. Значит, уравнение x² – 2x = 0 имеет два корня - x 1 = 0, x 2 = 2.

Проверим это, решив уравнение вынесением общего множителя за скобки:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

Ноль в правой части может получиться либо при x равном 0, либо 2.

Причина, по которой мы не стали графически решать уравнение x² – 2x – 1 = 0 в том, что в большинстве уравнений корнями являются вещественные (дробные) числа, а точно определить на графике значение x сложно. Поэтому для большинства уравнений графический способ решения не является лучшим. Однако знание этого способа дает более глубокое понимание связи между уравнениями и функциями.

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ . Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ . Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу x o , ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(x о) = g(x o). Из этого равенства следует, что x 0 - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке , если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x 3 - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x 1 = -2 ; x 2 = x 3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 имеет корень x 1 = x 2 = x 3 = 1).

Аналитический метод отделения корней . Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3 . Если функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей , если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей , если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной , если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f "(x) сохраняет постоянный знак на интервале . Тогда если во всех точках интервала первая производная положительна, т.е. f "(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает . Если же во всех точках интервала первая производная отрицательна, т.е. f "(x)<0, то функция в этом интервале убывает .

Пусть на отрезке функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ""(x)>0, то график функции является выпуклым вниз ; если же f ""(x)<0, то график функции является выпуклым вверх .

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими .

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f "(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример . Отделить корни уравнения 2 х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2 x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f "(x) = 2 x ln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2 x ln(2) - 5 = 0 ; 2 x ln(2) = 5 ; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).

Здравствуйте. В данной статье я попытаюсь показать вам возможные способы решения квадратных уравнений с помощью графиков .

Допустим, надо решить уравнение х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0. На этом примере мы рассмотрим варианты решения квадратного уравнения графически.

1) Можно представить наше уравнение в виде х 2 = 2х + 3. Далее построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. График у = х 2 представлен на рисунке 1, а оба графика на рисунке 2.

Рисунок 1 Рисунок 2

Графики пересекаются в двух точках, наше уравнение имеет решение х = – 1 и х = 3.

2) А ведь можно представить уравнение и по - другому, например х 2 ‒ 2х = 3 и построить в одной системе координат графики функций у = х 2 ‒ 2х и у =3. Вы их можете увидеть на рисунках 3 и 4. На рисунке 3 изображен график у = х 2 ‒ 2х, а на рисунке 4 оба графика у = х 2 ‒ 2х и у =3.

Рисунок 3 Рисунок 4

Как мы видим, эти два графика так же пересекаются в двух точках, где х = -1 и х = 3. Значит ответ: - 1; 3.

3) Есть и другой вариант представления этого уравнения х 2 ‒ 3 = 2х. И снова строим графики функций у = х 2 ‒ 3 и у = 2х в одной системе координат. Первый у = х 2 ‒ 3 на рисунке 5 и оба графика на рисунке 6.

Рисунок 5 Рисунок 6

Ответ: - 1; 3.

4) Можно построить параболу у = х 2 ‒ 2х ‒ 3.

Вершина параболы х 0 = - b/2а = 2/2=1, у 0 = 1 2 ‒ 2·1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Это точка (1; ‒ 4). Тогда наша парабола симметрична относительно прямой х =1. Если взять две точки симметричные относительно прямой х = 1 например: х = - 2 и х = 4, то мы получим две точки через которые проходят ветви графика.

Если х = -2, то у =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.

Аналогично х =4, у = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3= 16 – 8 – 3 = 5. Полученные точки (-2; 5); (1; 4) и (4; 5) отмечаем в на плоскости и проводим параболу рисунок 7.

Рисунок 7

Парабола пересекает ось абсцисс в точках – 1 и 3. Это и есть корни уравнения х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0.

Ответ: – 1 и 3.

5) А можно выделить квадрат двучлена:

х 2 ‒ 2х ‒ 3= 0

(х 2 ‒ 2х + 1) ‒1 ‒ 3= 0

(х -1) 2 - 4 = 0

Затем построить в одной системе координат графики функций у = (х - 1) 2 и у = 4. Первый график у = (х - 1) 2 на рисунке 8, а оба графика у = (х - 1) 2 и у = 4 на рисунке 9.

Рисунок 8 Рисунок 9

Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.

Ответ: - 1; 3.

6) Так как х = 0 не является корнем уравнения х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0 (иначе выполнялось бы равенство 0 2 – 2· 0 –3 = 0), то можно все члены уравнения разделить на х. В результате мы получим уравнение х – 2 – 3/х = 0. Перенесем 3/х вправо и получаем уравнение х – 2 = 3/х Тогда можно построить в одной системе координат графики функций у = 3/х и у = х – 2.

На рисунке 10 изображен график функции у = 3/х, а на рисунке 11 оба графика функций у = 3/х и у = х – 2.

Рисунок 10 Рисунок 11

Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.

Ответ: - 1; 3.

Если вы были внимательны, то обратили внимание, что каким бы образом вы не представили бы уравнение в виде двух функций, у вас всегда будет один и тот же ответ (разуметься, что вы не допустите ошибок при переносе выражений из одной части уравнения в другую и при построении графиков). Поэтому, решая графически уравнение, выбирайте способ представления функций графики которых вам легче построить. И еще одно замечание если корни уравнения не целые числа, то ответ получится не точным.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.